Под вероятностью события понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления этого события. Существует несколько подходов к определению вероятности.
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой
где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А , n – число всех возможных элементарных исходов испытания.
Пример 3.1. В опыте с бросанием игральной кости число всех исходов n равно 6 и все они равновозможны. Пусть событие А означает появление четного числа. Тогда для этого события благоприятными исходами будут появление чисел 2, 4, 6. Их количество равно 3. Поэтому вероятность события А равна
Пример 3.2. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?
Двузначными числами являются числа от 10 до 99, всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, …, 99). Так как в данном случае m =9, n =90, то
где А – событие, «число с одинаковыми цифрами».
Пример 3.3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов. Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей способами; при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными, взять же две нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .
Тогда искомая вероятность равна
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае значит
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае < m < n, значит 0 < m/n < 1, т. е. 0 < Р(А) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопределяемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность:
1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р(А) . Это число называется вероятностью события А .
2. Вероятность достоверного события равна единице.
3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.
Вопросы для самопроверки
1. Как называется числовая характеристика возможности наступления события?
2. Что называется вероятностью события?
3. Чему равна вероятность достоверного события?
4. Чему равна вероятность невозможного события?
5. В каких пределах заключена вероятность случайного события?
6. В каких пределах заключена вероятность любого события?
7. Какое определение вероятности называется классическим?
Различные определения вероятности случайного события
Теория вероятностей – математическая наука, которая по вероятностям одних событий позволяет оценивать вероятности других событий, связанных с первыми.
Подтверждением того, что понятие «вероятность события» не имеет определения, является тот факт, что в теории вероятностей существует несколько подходов к объяснению этого понятия:
Классическое определение вероятности случайного события.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта.
Где
Число благоприятных исходов опыта;
Общее числоисходов опыта.
Исход опыта называется благоприятным для события , если при этом исходе опыта появилось событие . Например, если событие - появление карты красной масти, то появление туза бубей – исход, благоприятный событию .
Примеры.
1) Вероятность выпадения 5 очков на грани кубика равна , поскольку кубик может упасть любой из 6 граней кверху, а 5 очков находятся только на одной грани.
2) Вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты - , поскольку монета может упасть гербом или решкой – два исхода опыта, а герб изображен лишь на одной стороне монеты.
3) Если в урне 12 шаров, из которых 5 – черные, то вероятность вынуть черный шар - , поскольку всего исходов опята – 12, а благоприятных из них - 5
Замечание. Классическое определение вероятности применимо при двух условиях:
1) все исходы опыта должны быть равновероятными;
2) опыт должен иметь конечное число исходов.
На практике бывает сложно доказать, что события равновероятные: например,при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д., кроме того, существуют опыты с бесконечным числом исходов.
Пример . Ребенок бросает мяч, и максимальное расстояние, на которое он может забросить мяч – 15 метров. Найти вероятность того, что мяч улетит за отметку 3 м.
Решение. Искомую вероятность предлагается считать, как отношение длины отрезка, находящегося за отметкой 3 м (благоприятная область) к длине всего отрезка (всевозможные исходы):
Пример. Точку случайным образом бросают в круг радиуса 1. Какова вероятность того, что точка попадет во вписанный в круг квадрат?
Решение. Под вероятностью того, что точка попадет в квадрат, понимают в данном случае отношение площади квадрата (благоприятной площади)к площади круга (общая площадь фигуры, куда бросают точку):
Диагональ квадрата равна 2 и выражается через его сторону по теореме Пифагора:
Аналогичные рассуждения проводят и в пространстве: если в теле объема случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части тела объема , вычисляется как отношение объема благоприятной части к общему объему тела:
Объединяя все случаи, можно сформулировать правило вычисления геометрической вероятности:
Если в некоторой области случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части этой области равна:
, где
Обозначает меру области: в случае отрезка – это длина, в случае плоской области – это площадь, в случае пространственного тела – это объем, на поверхности – площадь поверхности, на кривой – длина кривой.
Интересным приложением понятия геометрической вероятности является задача о встрече.
Задача. (О встрече)
Два студента договорились о встрече, например, в10 часов утра на следующих условиях: каждый приходит в любое время в течение часа с 10 до 11 и ждет 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи?
Решение. Проиллюстрируем условия задачи следующим образом: на оси отложим время, идущее для первого из встречающихся, а на оси - время, идущее для второго. Поскольку эксперимент длится один час, то по обеим осям отложим отрезки длины 1. Моменты времени, когда встречающиеся пришли одновременно, интерпретируется диагональю квадрата.
Пусть первый пришел в некоторый момент времени . Студенты встретятся, если время прибытия второго на место встречи заключается в промежутке
Рассуждая так для любого момента времени , получим, что область времени, интерпретирующая возможность встречи («пересечение времён»нахождения на нужном месте первого и второго студентов) находится между двумя прямыми: и . Вероятность встречи определяется по формуле геометрической вероятности:
В 1933 г. Колмогоров А.М. (1903 - 1987) предложил аксиоматический подход к построению и изложению теории вероятности, который стал общепринятымв настоящее время. При построении теории вероятности как формальной аксиоматической теории требуется не только ввести базовое понятие – вероятность случайного события, но и описать его свойства с помощью аксиом (утверждений интуитивно верных, принимаемых без доказательства).
Такими утверждениями являются утверждения, аналогичные свойствам относительной частоты появления события.
Относительной частотой появления случайного события называется отношение числа появлений события в испытаниях к общему числу проведенных испытаний:
Очевидно, , для достоверного события , для невозможного события , для несовместных событий и верно следующее:
Пример. Проиллюстрируем последнее утверждение. Пусть из колоды в 36 карт вынимают карты. Пусть событие означает появление бубей , событие означает появление червей, а событие - появление карты красной масти. Очевидно, события и несовместны. При появлении красной масти ставим метку возле события , при появлении бубей – возле события , а при появлении червей – возле события . Очевидно, что метка возле события будет поставлена тогда и только тогда, когда будет поставлена метка возле события или возле события , т.е. .
Назовем вероятностью случайного события число, сопоставленное событию по следующему правилу:
Для несовместных событий и
Итак,
|
Относительная частота |
Основы теории вероятности
План:
1. Случайные события
2. Классическое определение вероятности
3. Вычисление вероятностей событий и комбинаторика
4. Геометрическая вероятность
Теоретические сведения
Случайные события.
Случайное явление – явление, исход которого однозначно не определен. Это понятие можно трактовать в достаточно широком смысле. А, именно: все в природе достаточно случайно, появление и рождение любого индивидуума есть случайное явление, выбор товара в магазине также случайное явление, получение оценки на экзамене есть случайное явление, заболевание и выздоровление есть случайные явления и т.д.
Примеры случайных явлений:
~ Производится стрельба из орудия, установленным под заданным углом к горизонту. Попадание его в цель случайно, но попадание снаряда в некоторую "вилку", есть закономерность. Можно указать расстояние, ближе которого и дальше которого, снаряд не полетит. Получится некоторая "вилка рассеивания снарядов"
~ Одно и тоже тело взвешивается несколько раз. Строго говоря, каждый раз будут получаться разные результаты, пусть отличающиеся на ничтожно малую величину, но отличаться.
~ Самолет, летая по одному и тому же маршруту, имеет некоторый полетный коридор, в пределах которого может лавировать самолет, но никогда у него не будет строго одинакового маршрута
~ Спортсмен никогда не сможет пробежать одну и туже дистанцию с одинаковым временем. Его результаты также будут находиться в пределах некоторого численного промежутка.
Опыт, эксперимент, наблюдение являются испытаниями
Испытание – наблюдение или выполнение некоторого комплекса условий, выполняемых неоднократно, причем регулярно повторяющихся в оной и тоже последовательности, длительности, с соблюдением иных одинаковых параметров.
Рассмотрим выполнение спортсменом выстрела по мишени. Чтобы он был произведен, необходимо выполнить такие условия как изготовка спортсмена, зарядка оружия, прицеливание и т.д. "Попал" и "не попал" – события, как результат выстрела.
Событие – качественный результат испытания.
Событие может произойти или не произойти События обозначаются заглавными латинскими буквами. Например: D ="Стрелок попал в мишень". S="Вынут белый шар". K="Взятый наудачу лотерейный билет без выигрыша.".
Подбрасывание монеты – испытание. Падение ее "гербом" – одно событие, падение ее "цифрой" – второе событие.
Любое испытание предполагает наступления нескольких событий. Одни из них могут быть нужными в данный момент времени исследователю, другие – не нужными.
Событие называется случайным , если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить "совокупность условий S осуществлена", будем говорить кратко: "произведено испытание". Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.
~ Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре, области. Выстрел - это испытание. Попадание в определенную область мишени - событие.
~ В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета - событие.
Виды случайных событий
1. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
~ Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События € появилась стандартная деталь" и с появилась нестандартная деталь" - несовместные.
~ Брошена монета. Появление "герба" исключает появление надписи. События "появился герб" и "появилась надпись" - несовместные.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.
В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.
~ Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий:
1. "выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй",
2. "выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй",
3. "выигрыш выпал на оба билета",
4. "на оба билета выигрыш не выпал".
Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий,
~ Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события также образуют полную группу.
2. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
~ Появление "герба" и появление надписи при бросании монеты - равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.
~ Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.
3. Событие называется достоверным, если оно не может не произойти
4. Событие называется не достоверным , если оно не может произойти.
5. Событие называются противоположным к некоторому событию, если оно состоит из не появления данного события. Противоположные события не совместимые, но одно из них должно обязательно произойти. Противоположные события принято обозначать как отрицания, т.е. над буквой пишется черточка. События противоположные: А и Ā; U и Ū и т.д. .
Классическое определение вероятности
Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей.
Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.
Рассмотрим ситуацию: В ящике содержится 6 одинаковых шаров, причем 2 - красные, 3- синие и 1-белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эту возможность можно охарактеризовать числом, которое и называют вероятностью события (появления - цветного шара).
Вероятность - число, характеризующее степень возможности появления события.
В рассматриваемой ситуации обозначим:
Событие А ="Вытаскивание цветного шара".
Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным (возможным) исходом и событием. Элементарные исходы можно обозначать буквами с индексами внизу, например: k 1 , k 2 .
В нашем примере 6 шаров, поэтому 6 возможных исходов: появился белый шар; появился красный шар; появился синий шар и т.д. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможные (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).
Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими исходами этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов:
Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А. Это появление любого цветного шара, которых в ящике 5 штук
В рассматриваемом примере элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, Р(А)= 5/6. Это число дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара.
Определение вероятности:
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Р(А)=m/n или Р(А)=m: n, где:
m -число элементарных исходов, благоприятствующих А;
п - число всех возможных элементарных исходов испытания.
Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместные, равновозможные и образуют полную группу.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n следовательно, p=1
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m=0, следовательно, p=0.
3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
0
В последующих темах будут приведены теоремы, которые позволяют по известным вероятностям одних событий находить вероятности других событий.
Промер. В группе студентов 6 девушек и 4 юношей. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент будет девушка? будет юноша?
p дев = 6 / 10 =0,6 p юн = 4 / 10 = 0,4
Понятие "вероятность" в современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Рассмотрим некоторые моменты такого подхода.
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий: w i (i=1, 2, .... п). События w i ,- называется элементарными событиями (элементарными исходами). О тсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Ω (греческая буква омега заглавная), а сами элементарные события - точками этого пространства. .
Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Ω), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество Ω , элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т, д. Таким образом, множества всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств Ω, Само Ω наступает при любом исходе испытания, поэтому Ω - достоверное событие; пустое подмножество пространства Ω- -невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).
Элементарные события выделяются из числа всех событий тем, "по каждое из них содержит только один элемент Ω
Каждому элементарному исходу w i ставят в соответствие положительное число р i - вероятность этого исхода, причем сумма всех р i равна 1 или со знаком суммы этот факт запишется в виде выражения:
По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Поэтому вероятность события достоверного равна единице, невозможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и единицей.
Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможные, Число исходов равно л, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/п. Пусть событию А благоприятствует m исходов.
Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:
Р(А)=1/n + 1/n+…+1/n = n·1/n=1
Получено классическое определение вероятности.
Существует еще аксиоматический подход к понятию "вероятность". В системе аксиом, предложенной. Колмогоровым А. Н, неопределяемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности.
Приведем аксиомы, определяющие вероятность:
1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р(А). Это число называется вероятностью события А.
2. Вероятность достоверного события равна единице:
3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей к зависимости между ними выводят в качестве теорем.
Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий. Вероятностным экспериментом (испытанием, наблюдением) называется эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. В данном эксперименте любой его результат (исход) является событием.
Событие может быть достоверным (всегда происходит в результате испытания); невозможным (заведомо не происходит при испытании); случайным (может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента).
Событие, которое нельзя разбить на более простые события, называется элементарным. Событие, представленное в виде совокупности нескольких элементарных событий, называется сложным (фирма не понесла убытки – прибыль может быть положительной либо равной нулю).
Два события, которые не могут происходить одновременно (увеличение налогов – рост располагаемого дохода; увеличение объема инвестиций – снижение уровня риска), называются несовместными.
Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае они являются совместными (увеличение объема продаж – увеличение прибыли). События называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое (товар реализован – товар не реализован).
Вероятность события – это численная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.
Классическое определение вероятности. Вероятностью Р (А ) события А называется отношение числа m равновозможных элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А , к общему числу n всех возможных элементарных исходов данного эксперимента:
Из вышеизложенного вытекают следующие основные свойства вероятности:
1. 0 £ Р (А ) £ 1.
2. Вероятность достоверного события А равна 1: Р (А ) = 1.
3. Вероятность невозможного события А равна 0: Р (А ) = 0.
4. Если события А и В несовместны, то Р (А + В ) = Р (А ) + Р (В ); если же события А и В совместны, то Р (А + В ) = Р (А ) + Р (В ) - Р (А . B). (Р (А . B) – вероятность совместного появления этих событий).
5. Если А и противоположные события, то Р () = 1 - Р (А ).
Если вероятность осуществления одного события не изменяет вероятности появления другого, то такие события называются независимыми.
При непосредственном вычислении вероятностей событий, характеризующихся большим числом исходов, следует пользоваться формулами комбинаторики . Для исследования группы событий (гипотез)
применяются формулы полной вероятности, Бейеса и Бернулли (n независимых испытаний – повторение опытов) .
При статистическом определении вероятности события А под n понимается полное число фактически проведенных испытаний, в которых событие А встретилось ровно m раз. В этом случае отношение m /n называется относительной частотой (частостью) W n (A ) появления события А в n произведенных испытаниях.
При определении вероятности по методу экспертных оценок под n понимается количество экспертов (специалистов в данной области), опрашиваемых на предмет возможности осуществления события А . При этом m из них утверждают, что событие А произойдет.
Понятия случайного события недостаточно для описания результатов наблюдений величин, имеющих числовое выражение. Например, при анализе финансового результата предприятия в первую очередь интересуются его размерами. Поэтому понятие случайного события дополняется понятием случайной величины.
Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате наблюдения (испытания) принимает одно из возможного множества своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств. Для каждого элементарного события СВ имеет единственное значение.
Различают дискретные и непрерывные СВ. Для дискретной СВ множество ее возможных значений конечно или счетно, т. е. СВ принимает отдельные изолированные значения, которые могут быть заранее перечислены, с определенными вероятностями. Для непрерывной СВ множество ее возможных значений бесконечно и несчетно, например, все числа данного интервала, т.е. возможные значения СВ не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Примеры случайных величин: Х - ежедневное число покупателей в супермаркете (дискретная СВ); Y - число детей, родившихся в течение суток в определенном административном центре (дискретная СВ); Z - координата точки попадания артиллерийского снаряда (непрерывная СВ).
Многие СВ, рассматриваемые в экономике, имеют настолько большое число возможных значений, что их удобнее представлять в виде непрерывных СВ. Например, курсы валют, доход населения и т. п.
Для описания СВ необходимо установить соотношение между всеми возможными значениями СВ и их вероятностями. Такое соотношение будет называться законом распределения СВ . Для дискретной СВ его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) либо графически. Например, таблично для СВ Х
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОРЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ
Кафедра Социологии и информационных технологий
Типовой расчет №1
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
на тему «Основы теории вероятностей»
Орел – 2016.
Цель работы: закрепление теоретических знаний по теме основы теории вероятности, путем решения типовых задач. Усвоение понятий основных видов случайных событий и отработка навыков алгебраических действий над событиями.
Требования к оформлению работы : работа выполняется в рукописном виде, работа должна содержать все необходимые пояснения и выводы, формулы должны содержать расшифровку принятых обозначений, страницы должны быть пронумерованы.
Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в списке группы.
Основные теоретические сведения
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.
Понятие события. Классификация событий.
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Обозначаются события большими латинскими буквами А , В , С ,…
Событие – это возможный результат (исход) испытания или опыта.
Под испытанием понимается всякое целенаправленное действие.
Пример : стрелок стреляет по мишени. Выстрел – испытание, попадание в мишень – событие.
Событие называется случайным , если в условиях данного опыта оно может, как произойти так и не произойти.
Пример : Выстрел из ружья – испытание
Соб. А – попадание в цель,
Соб. В – промах – случайные события.
Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти.
Пример : выпадение не более 6 очков при бросании игральной кости.
Событие называется невозможным , если в условиях данного опыта оно вообще не может произойти.
Пример : выпадение более 6 очков при бросании игральной кости.
События называются несовместными , если наступление одного из них исключает возможность наступления какого-либо другого. В противном случае события называются совместными.
Пример : Брошен игральный кубик. Выпадение 5 очков исключает выпадение 6 очков. Это несовместные события. Получение студентом на экзаменах оценок «хорошо» и «отлично» по двум различным дисциплинам – события совместные.
Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными . Событие противоположное событию А обозначают Ā .
Пример : Появление «герба» и появление «решки» при подбрасывании монеты – противоположные события.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными , если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.
Пример : извлечение из колоды карт туза, десятки, дамы – события равновозможные.
Несколько событий образуют полную группу , если в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.
Пример : Выпадение числа очков 1, 2, 3, 4, 5, 6 при бросании игральной кости.
Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности
Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления.
Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности наступления события.
Назовем элементарным исходом каждый из равновозможных результатов испытания.
Исход называется благоприятствующим (благоприятным) событию А , если его появление влечет за собой наступление события А .
Классическое определение : вероятность события А равна отношению числа благоприятных для данного события исходов к общему числу возможных исходов.
(1) где P (A ) – вероятность события А ,
m – число благоприятных исходов,
n – число всех возможных исходов.
Пример : В лотерее 1000 билетов, из них 700 невыигрышных. Какова вероятность выигрыша по одному приобретенному билету.
Событие А – приобретен выигрышный билет
Число возможных исходов n =1000 – это общее число билетов в лотерее.
Число исходов, благоприятствующих событию А – это число выигрышных билетов, т.е., m =1000-700=300.
По классическому определению вероятности: 
Ответ:
.
Отметим свойства вероятности события :
1) Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 0≤P (A )≤1.
2) Вероятность достоверного события равна 1.
3) Вероятность невозможного события равна 0.
Кроме классического существуют еще геометрическое и статистическое определения вероятности.
Элементы комбинаторики .
Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа исходов широко используют формулы комбинаторики.
Пусть дано множество N из n различных элементов.
Определение 1: Комбинации, в каждую из которых входят все n элементов и которые отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками из n элементов.
Pn =n ! (2), где n ! (n -факториал) – произведение n первых чисел натурального ряда, т.е.
n ! = 1∙2∙3∙…∙(n –1)∙n
Так, например, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120
Определение 2: m элементов (m ≤n ) и отличающиеся друг от друга или составом элементов или их порядком называются размещениями из n по m элементов.
(3) Определение 3: Комбинации, каждая из которых содержит m элементов (m ≤n ) и отличающиеся друг от друга только составом элементов называются сочетаниями из n по m элементов.
(4)
Замечание:
изменение порядка элементов внутри одного сочетания не приводит к новому сочетанию.
Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач
Правило суммы: если объект А может быть выбран m способами, а объект В – n способами, то выбор либо А либо В может быть осуществлен m +n способами.
Правило произведения: если объект А может быть выбран m способами, а объект В после каждого такого выбора можно выбрать n способами, то пара объектов А и В в указанном порядке может быть выбрана m ∙ n способами.
